| ระบบจำนวนจริง | ||
| จากแผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนข้างต้น จะพบว่า ระบบจำนวนจริง จะประกอบไปด้วย | ||
| 1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265... | ||
| 2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น | ||
 | เขียนแทนด้วย 0.5000... | |
 | เขียนแทนด้วย 0.2000... | |
 | ||
 | ||
| • ระบบจำนวนตรรกยะ | ||
| จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ | ||
| 1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น | ||
| 2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม | ||
| • ระบบจำนวนเต็ม | ||
| จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน | ||
 | ||
| 1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I - โดยที่ I - = {..., -4, -3, -2, -1} เมื่อ I - เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ | ||
| 2. จำนวนเต็มศูนย์ (0) | ||
| 3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่ I+ = {1, 2, 3, 4, ...} เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก | ||
| จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า "จำนวนนับ" ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่ N = I+ = {1, 2, 3, 4, ...} | ||
| • ระบบจำนวนเชิงซ้อน | ||
| นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้ | ||
| x2 = -1 | ∴ x = √-1 = i | |
| x2 = -2 | ∴ x = √-2 = √2 i | |
| x2 = -3 | ∴ x = √-3 = √3 i | |
| จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า "หนึ่งหน่วยจินตภาพ" เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i | ||
| ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ " เซตจำนวนเชิงซ้อน " (Complex numbers) | ||
| • สมบัติการเ่ท่ากันของจำนวนจริง | ||||
| กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ | ||||
| 1. สมบัติการสะท้อน a = a | ||||
| 2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a | ||||
| 3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c | ||||
| 4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c | ||||
| 5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc | ||||
| • สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง | ||||
| กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ | ||||
| 1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง | ||||
| 2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c | ||||
| 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c | ||||
| 4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0 | ||||
| นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก | ||||
| 5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a | ||||
| นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก | ||||
• สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง
| ||||
| กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ | ||||
| 1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง | ||||
| 2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba | ||||
| 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c | ||||
| 4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1 | ||||
| นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ | ||||
| 5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0 | ||||
| นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0 | ||||
| 6. สมบัติการแจกแจง | ||||
| a( b + c ) = ab + ac | ||||
| ( b + c )a = ba + ca | ||||
| จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้ | ||||
| ทฤษฎีบทที่ 1 | กฎการตัดออกสำหรับการบวก | |||
| เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ | ||||
| ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b | ||||
| ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c | ||||
| ทฤษฎีบทที่ 2 | กฎการตัดออกสำหรับการคูณ | |||
| เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ | ||||
| ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b | ||||
| ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c | ||||
| ทฤษฎีบทที่ 3 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ | |||
| a · 0 = 0 | ||||
| 0 · a = 0 | ||||
| ทฤษฎีบทที่ 4 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ | |||
| (-1)a = -a | ||||
| a(-1) = -a | ||||
| ทฤษฎีบทที่ 5 | เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ | |||
| ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 | ||||
| ทฤษฎีบทที่ 6 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ | |||
| a(-b) = -ab | ||||
| (-a)b = -ab | ||||
| (-a)(-b) = ab | ||||
| เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น | ||||
| • การลบจำนวนจริง | ||||
| บทนิยาม | เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ | |||
| a- b = a + (-b) | ||||
| นั่นคือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b | ||||
| • การหารจำนวนจริง | ||||
| บทนิยาม | เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0 | |||
| ||||
| ||||
