• สมบัติการเ่ท่ากันของจำนวนจริง |
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ |
1. สมบัติการสะท้อน a = a |
2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a |
3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c |
4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c |
5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc |
|
• สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง |
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ |
1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง |
2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c |
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c |
4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0 |
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก |
5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a |
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก |
|
• สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง
|
กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ |
1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง |
2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba |
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c |
4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1 |
นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ |
5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0 |
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0 |
6. สมบัติการแจกแจง |
a( b + c ) = ab + ac |
( b + c )a = ba + ca |
จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้ |
| |
ทฤษฎีบทที่ 1 | กฎการตัดออกสำหรับการบวก |
| เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b |
| ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c |
| |
ทฤษฎีบทที่ 2 | กฎการตัดออกสำหรับการคูณ |
| เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b |
| ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c |
| |
ทฤษฎีบทที่ 3 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| a · 0 = 0 |
| 0 · a = 0 |
| |
ทฤษฎีบทที่ 4 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| (-1)a = -a |
| a(-1) = -a |
| |
ทฤษฎีบทที่ 5 | เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 |
| |
ทฤษฎีบทที่ 6 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| a(-b) = -ab |
| (-a)b = -ab |
| (-a)(-b) = ab |
| |
เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน
ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น |
| |
• การลบจำนวนจริง |
| |
บทนิยาม | เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| a- b = a + (-b) |
| นั่นคือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b |
| |
• การหารจำนวนจริง |
| |
บทนิยาม | เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0 |
|
|
|
นั่นคือ |  | คือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b |
|
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น